Question

已知定點(diǎn)A（0，0），動(dòng)點(diǎn)B滿(mǎn)足|

AB

|=5，線(xiàn)段AB與圓：x²+y²=9交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)l垂直于x軸，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（III）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)m，與點(diǎn)Q的軌跡交于M、N兩點(diǎn)，C為點(diǎn)Q的軌跡上不同于M、N的任意一點(diǎn)，問(wèn)k_CM•k_CN是否為定值，若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程是x²+y²=25（2分）
（2）設(shè)Q（x，y），B（5cosθ，5sinθ），P（3cosθ，3sinθ），（4分）
根據(jù)題意有

x=5cosθ y=3sinθ

（6分）
點(diǎn)Q的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（8分）
（3）設(shè)C（x，y），由橢圓

x2

25

+

y2

9

=1是中心對(duì)稱(chēng)圖形，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）kCM=

y-y0

x-x0

，kCN=

y+y0

x+x0

，（10分）kCM•kCN=

y2- y 20

x2- x 20

（11分）
又點(diǎn)M、C都在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上，
所以

x2 25 + y2 9 =1 x 20 25 + y 20 9 =1

?

x2- x 20

25

+

y2- y 20

9

=0

y2- y 20

x2- x 20

=-

25

9

即kCM•kCN=-

25

9

是一個(gè)定值．（14分）