Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（其中a實數，e是自然對數的底數）．
（1）當a=5時，求函數y=g（x）在點（1，e）處的切線方程；
（2）求f（x）在區間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在x1 ， x2∈[e﹣1 ， e]（x1≠x2），使方程g（x）=2exf（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=5時，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）ex，

g′（x）=（﹣x2+3x+2）ex，

故切線的斜率為g′（1）=4e，且g（1）=e，

所以切線方程為：y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．

（2）解：f′（x）=lnx+1，

令f′（x）=0，得x= ，

①當t 時，在區間（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數，

所以f（x）min=f（t）=tlnt，

②當0＜t＜ 時，在區間（t， ）上f′（x）＜0，f（x）為減函數，

在區間（ ，e）上f′（x）＞0，f（x）為增函數，

所以f（x）min=f（ ）=﹣ ；

（3）解：由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3

a=x+2lnx+ ，

令h（x）═x+2lnx+ ，h′（x）=1+ ﹣ =

x	（ ，1）	1	（1，e）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	單調遞減	極小值（最小值）	單調遞增

h（ ）= +3e﹣2，h（1）=4，h（e）= +e+2，

h（e）﹣h（ ）=4﹣2e+ ＜0

則實數a的取值范圍為（4，e+2+ ]

【解析】（1）寫出當a=5時g（x）的表達式，求出導數，求得切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；（2）求出f（x）的導數，求出極值點，討論①當t 時，②當0＜t＜ 時，函數f（x）的單調性，即可得到最小值；（3） 由g（x）=2exf（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3，得到a=x+2lnx+ ，令h（x）═x+2lnx+ ，求出導數，列表求出極值，求出端點的函數值，即可得到所求范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．