Question

【題目】選修4-4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的方程為，以O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)M（x，y）為橢圓C上任意一點(diǎn)，求|x+y﹣1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）9

【解析】試題分析：（1）根據(jù) 將直線極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，（2）根據(jù)橢圓參數(shù)方程化簡(jiǎn)|x+y﹣1|，再根據(jù)三角函數(shù)有界性以及絕對(duì)值定義確定函數(shù)最大值.

試題解析：（1）根據(jù)題意，橢圓C的方程為+=1，

則其參數(shù)方程為，（α為參數(shù)）；

直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=3，變形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，

即ρsinθ+ρcosθ=3，,將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，

即直線l的普通方程為x+y﹣6=0；

（2）根據(jù)題意，M（x，y）為橢圓一點(diǎn)，則設(shè)M（2cosθ，4sinθ），

|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，

分析可得，當(dāng)sin（θ+）=﹣1時(shí)，|2x+y﹣1|取得最大值9．