Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，離心率．

(I)求橢圓C的標準方程；

(II)已知直線交橢圓C于A，B兩點．

①若直線經過橢圓C的左焦點F，交y軸于點P，且滿足.求證：為定值；

②若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）根據離心率及焦點坐標可得標準方程.

（2）①設直線方程為，則，，聯立直線方程和橢圓方程并消去得到關于的方程，其解為.又根據向量關系得到，利用韋達定理可得此式為定值.

②設，，則，利用換元法可求面積的取值范圍，注意討論分別與坐標軸重合時的情形.

由題設知，，所以，

所以橢圓的標準方程為

①由題設知直線斜率存在，設直線方程為，則.

設，直線代入橢圓得，

所以，，由，知

，

.

②當直線分別與坐標軸重合時，易知.

當直線斜率存在且不為0時，設，，

設，直線代入橢圓得到，

所以，同理，

，

令，則

，

因為，所以，故 ，綜上.