Question

【題目】如圖，梯形ABCD所在的平面與等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD，CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4.

(1)求證：DF∥平面BCE；

(2)求二面角C—BF—A的正弦值；

(3)線段CE上是否存在點G，使得AG⊥平面BCF？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)由CD∥EF, CD=EF，得到四邊形CDFE為平行四邊形，從而DF∥CE，由線面平行的判定定理得證DF∥平面BCE；(2)在平面ABEF內，過A作AZ⊥AB，以A為原點，AD、AB、AZ所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，寫出相應的坐標，求出平面BCF的一個法向量n和平面ABF的一個法向量v的坐標，利用夾角公式求出二面角C—BF—A的余弦值，進而用同角三角函數關系求出正弦值；(3)假設存在滿足條件的點G，設＝λ，求出G點坐標，從而得的坐標，由∥n構造方程組，方程組無解，從而判斷滿足條件的點G不存在．

(1)證明：因為CD∥EF，且CD＝EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，所以DF∥CE，因為DF平面BCE，

所以DF∥平面BCE.

(2)在平面ABEF內，過A作AZ⊥AB，因為平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又AZ平面ABEF，AZ⊥AB，所以Az⊥平面ABCD，

所以AD⊥AB，AD⊥AZ，AZ⊥AB，

如圖建立空間直角坐標系A—xyz.

由題意得，A(0,0,0)，B(0,4,0)，C(2,2,0)，E(0,3，)，F(0,1，)．

所以＝(2，－2,0)，＝(0，－3，)．

設平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，則即

令y＝1，則x＝1，z＝，所以n＝(1,1，)．

平面ABF的一個法向量為v＝(1,0,0)，

則cos〈n，v〉＝＝，sin〈n，v〉＝.

所以二面角C—BF—A的正弦值為.

(3)線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：

假設線段CE上存在點G，使得AG⊥平面BCF，設＝λ，其中λ∈[0,1]．

設G(x2，y2，z2)，則有(x2－2，y2－2，z2)＝(－2λ，λ，λ)，

所以x2＝2－2λ，y2＝2＋λ，z2＝λ，從而G(2－2λ，2＋λ，λ)，

所以＝(2－2λ，2＋λ，λ)．

因為AG⊥平面BCF，所以∥n.

所以有＝＝，

因為上述方程無解，所以假設不成立．

所以線段CE上不存在點G，使得AG⊥平面BCF.