Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PA的中點，F為BC的中點，底面ABCD是菱形，對角線AC，BD交于點O．求證：

（1）平面EFO∥平面PCD；
（2）平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為E為PA的中點，O為AC的中點，所以EO∥PC

又EO平面PCD，PC平面PCD，所以EO∥平面PCD

同理可證，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O

所以，平面EFO∥平面PCD

（2）解：因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PA⊥BD

因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A

所以BD⊥平面PAC

又BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD

【解析】（1）由題意知，EO∥PC，由線面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可證，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得證平面EFO∥平面PCD．（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得證平面PAC⊥平面PBD．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定，需要了解判斷兩平面平行的方法有三種:用定義；判定定理；垂直于同一條直線的兩個平面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能得出正確答案．