在平面直角坐標系中，
的兩個頂點
、
的坐標分別是（-1,0）,(1,0),點
是的重心，
軸上一點
滿足
，且
.
（1）求的頂點
的軌跡
的方程；
（2）不過點的直線
與軌跡交于不同的兩點
、
,當
時，求
與
的關系，并證明直線
過定點.
(1) 
(2) 
,直線過定點
解析試題分析：（1）設點坐標為
，
因為為的重心，故點坐標為
.
由點在軸上且知，點的坐標為
, ……2分
因為，所以
，即.
故的頂點的軌跡的方程是. ……4分
(2)設直線
與
的兩交點為
.
由
消去得
，
則
,
且
,
. ……8分
因為，所以
,
故
，
整理得
.解得
. ……10分
①當
時=
，直線過點（-1，0）不合題意舍去。
②當時，=
，直線過點.
綜上所述,直線過定點. ……12分
考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系.
點評：求曲線方程時，不要忘記驗證是否有限制條件；解決直線與圓錐曲線的位置關系時，一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯立方程組，此時不要忘記驗證判別式大于零.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題滿分13分）已知橢圓
：
(
)過點
，其左、右焦點分別為
，且
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程；
(Ⅱ)若
是直線
上的兩個動點，且
，則以
為直徑的圓
是否過定點？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分10分）在直角坐標平面內，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程是
，直線
的參數方程是
（
為參數）。
求極點在直線上的射影點
的極坐標；
若
、
分別為曲線、直線上的動點，求
的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系
中，點
，點
為拋物線
的焦點，
線段
恰被拋物線
平分．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）過點
作直線
交拋物線于
兩點，設直線
、
、
的斜率分別為
、
、
，問
能否成公差不為零的等差數列？若能，求直線的方程；若不能，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
（
）過點
（0，2），離心率
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過定點
（2，0）的直線
與橢圓相交于
兩點，且
為銳角（其中
為坐標原點),求直線斜率的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）已知函數
（其中
且
為常數）的圖像經過點A
、B
．
是函數
圖像上的點，
是
正半軸上的點．
(1) 求的解析式；
(2) 設
為坐標原點，
是一系列正三角形，記它們的邊長是
，求數列
的通項公式；
(3) 在(2)的條件下，數列
滿足
，記的前
項和為
，證明：
。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本題15分）已知點
是橢圓E：
（
）上一點，F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF1⊥x軸．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設A、B是橢圓E上兩個動點，
（
）．求證：直線AB的斜率為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知橢圓C :
經過點
離心率為
。
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓C上，O為坐標原點。求O到直線l的距離的最小值。
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的左焦點為F，過點F的直線與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,
.
，求橢圓C的方程.