Question

【題目】某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區間如下：

組號	第一組	第二組	第三組	第四組	第五組
分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]

（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分；
（Ⅲ）現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（Ⅱ）由直方圖分數在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，
[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學生期中考試數學成績的平均分的估計值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（Ⅲ）由直方圖，得：
第3組人數為0.3×100=30，
第4組人數為0.2×100=20人，
第5組人數為0.1×100=10人．
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，
每組分別為：
第3組： 人，
第4組： 人，
第5組： =1人．
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
設第3組的3位同學為A1 ， A2 ， A3 ， 第4組的2位同學為B1 ， B2 ， 第5組的1位同學為C1 ， 則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A1 ， A2），（A1 ， A3），（B1 ， B2），（A2 ， A3），（A1 ， B1），（A1 ， B2），（A2 ， B1），（A2 ， B2），（A3 ， B1），（A3 ， B2），（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），
其中恰有1人的分數不低于90（分）的情形有：（A1 ， C1），（A2 ， C1），（A3 ， C1），（B1 ， C1），（B2 ， C1），共5種．
所以其中第4組的2位同學至少有一位同學入選的概率為

【解析】（1）根據所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關系，可求出所求；（2）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；（3）先分別求出3，4，5組的人數，再利用古典概型知識求解．
【考點精析】利用分層抽樣和頻率分布直方圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本；頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．