Question

【題目】已知函數，（x＞0）．

（1）當0＜a＜b，且f（a）＝f（b）時，求證：ab＞1；

（2）是否存在實數a，b（a＜b），使得函數y＝f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，則求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

（3）若存在實數a，b（a＜b），使得函數y＝f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]（m≠0），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）不存在適合條件的實數a，b，證明見詳解；（3）．

【解析】

（1）根據函數單調性，初步判斷與1的大小關系，根據f（a）＝f（b）得到等量關系，用均值不等式進行處理；

（2）對與1的大小關系進行分類討論，尋找滿足題意的；

（3）對的取值進行分類討論，利用函數的單調性，進行求解.

（1）證明：∵x＞0，∴

∴f（x）在（0，1）上為減函數，在（1，+∞）上是增函數．

由0＜a＜b，且f（a）＝f（b），

可得 0＜a＜1＜b和，

即．

∴2ab＝a+b．

故，即ab＞1．

（2）不存在滿足條件的實數a，b．

若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y的定義域、值域都是[a，b]，

則a＞0，

①當a，b∈（0，1）時，在（0，1）上為減函數．

故，即，解得a＝b．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

②當a，b∈[1，+∞）時，在（1，+∞）上是增函數．

故，即

此時a，b是方程x2﹣x+1＝0的根，此方程無實根．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

③當a∈（0，1），b∈[1，+∞）時，

由于1∈[a，b]，而f（1）＝0[a，b]，

故此時不存在適合條件的實數a，b．

綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．

（3）若存在實數a，b（a＜b），

使得函數y＝f（x）的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

則a＞0，m＞0．

①當a，b∈（0，1）時，由于f（x）在（0，1）上是減函數，

故．

此時得a，b異號，不符合題意，所以a，b不存在．

②當a∈（0，1）或b∈[1，+∞）時，

由（ 2）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]所以a，b不存在．

故只有a，b∈[1，+∞）．

∵在[1，+∞）上是增函數，

∴，即

∴a，b是方程mx2﹣x+1＝0的兩個根，

即關于x的方程mx2﹣x+1＝0有兩個大于1的實根．

設這兩個根為x1，x2，則x1+x2，x1x2．

∴，即

解得．

故m的取值范圍是．