Question

已知圓O：x²+y²=4，A（-1，0），B（1，0），直線l與圓O切于點S（l不垂直于x軸），拋物線過A、B兩點且以l為準線，以F為焦點．
（1）當點S在圓周上運動時，求證：|FA|+|FB|為定值，并求出點F的軌跡C方程；
（2）曲線C上有兩個動點M，N，中點D在直線y=l上，若直線l′經過點D，且在l′上任取一點P（不同于D點），都存在實數λ，使得，證明：直線l′必過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

解：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，
根據拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，
∴2a=4，c=1，
曲線C：．
（2）∵，
∴MN⊥l′，
令MN：y=kx+m，，
整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴，
4k²+3=3m，
則，
∴，恒過（0，-）．
分析：（1）分別作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁，OO₁⊥l于O₁，根據拋物線的定義|FA|+|FB|=|AA₁|+|BB₁|=2|OO₁|=4，由此能求出曲線C的方程．
（2）由，知MN⊥l′，令MN：y=kx+m，，整理，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，再由韋達定理能證明：直線l′必過定點，并能求出該定點的坐標．
點評：本題考查橢圓方程的求法，證明直線l′必過定點，并求該定點的坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．