Question

【題目】已知函數f（x），g（x）滿足關系g（x）=f（x）f（x+α），其中α是常數．

（1）設f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；

（2）設計一個函數f（x）及一個α的值，使得；

（3）當f（x）=|sinx|+cosx，時，存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）f（x）=2cosx，α=- （3）

【解析】

（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）f（x+α）化簡得出．

（2）對g（x）化簡得=4cosxcos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．

（3）求出g（x）的解析式，由題意得g（x1）為最小值，g（x2）為最大值，求出x1，x2，從而得到|x1-x2|的最小值.

（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；

∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．

（2）∵=4cosxcos（x-），

∴f（x）=2cosx，α=-．

（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）

=，

因為存在x1，x2∈R，對任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，

所以當x1=2kπ+π或時，g（x）≥g（x1）=-1

當時，g（x）≤g（x2）=2

所以

或

所以|x1-x2|的最小值是．