Question

已知函數f（x）=x²-2ax+3，x∈[0，2]．
①當a≥2時，f（x）在[0，2]上的最小值為-13，求a的值；
②求f（x）在[0，2]上的最小值g（a）；
③求②中g（a）的最大值．

Answer 1

f（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，函數的對稱軸為x=a，拋物線開口向上．
①當a≥2時，[0，2]⊆（-∞，a]，
∴f（x）在[0，2]上是減函數，
∴f（x）_min=f（2）=7-4a=-13，
∴a=5．
②當a≥2時f（x）在[0，2]上是減函數，
∴g（a）=f（x）_min=f（2）=7-4a
當a≤0時f（x）在[0，2]上是增函數，
∴g（a）=f（x）_min=f（0）=3，
當0＜a＜2時，f（x）在[0，a]上是減函數，在[a，2]上是增函數．
∴g(a)=f(x)min=f(a)=3-a2，
∴g(a)=

7-4a(a≥2) 3-a2(0＜a＜2) 3(a≤0)

．
③由②知∴g(a)=

7-4a(a≥2) 3-a2(0＜a＜2) 3(a≤0)

．
當a≥2時，7-4a≤-1，
當0＜a＜2時，-1＜3-a²＜3，
當a≤0時，g（a）=3，
∴g（a）_max=3（a≤0）