Question

已知向量，且（O為坐標原點）．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在過點F（1，0）的直線l與曲線C相 交于A、B兩點，并且曲線C存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形？若存在，求出平行四邊形OAPB的面積；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵向量，且
∴（2x-2）（x+1）-（2-）=0
化簡可得，點M的軌跡C的方程為；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知l的斜率一定不為0，故不妨設(shè)l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-
假設(shè)存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為
∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴+=1
∴2+3+2+3+4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在橢圓上，∴2+3=6，2+3，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=-，y₁y₂=-
∴m=
當m=時，y₁=，y₂=，∴x₁=0，x₂=
∴
∴cos
∴sin∠AOB=
∴平行四邊形OAPB的面積為
當m=-時，同理可得平行四邊形OAPB的面積為
故存在存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形．
分析：（1）利用向量共線的條件，建立方程，化簡可得點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l：x=my+1，代入橢圓方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0，利用韋達定理表示，假設(shè)存在點P，使四邊形OAPB為平行四邊形，其充要條件為，從而可得P的坐標，代入橢圓方程，利用A，B在橢圓上，可求m的值，進而可求平行四邊形OAPB的面積，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，確定直線的方程是關(guān)鍵．