Question

已知數列中，，且（）。
（I）    求，的值及數列的通項公式；
（II）  （II）令，數列的前項和為，試比較與的大小；
（III）令，數列的前項和為，求證：對任意，都有。

Answer 1

（I）解：當時，，（1分）
當時，。（2分）
因為，所以。（3分）
當時，由累加法得，
因為，所以時，有。
即。
又時，，
故。（5分）
（II）解：時，，則。
記函數，
所以。
則0。
所以。（7分）
由于，此時；
，此時；
，此時；
由于，故時，，此時。
綜上所述，當時，；當時，。（8分）
（III）證明：對于，有。
當時，。
所以當時，
。
且。
故對，得證。（10分）

本試題主要是考查了數列的通項公式與求和的綜合運用，以及數列與不等式的關系的運用。
（1）利用已知的遞推關系得到數列的前幾項的值，并整體變形構造等差數列求解通項公式。
（2）利用第一問的結論，結合分組求和的思想和等比數列的求和得到結論。
（3））先分析通項公式的特點，然后裂項求和，證明不等是的成立問題。