Question

某商場分別投入x萬元，經(jīng)銷甲、乙兩種商品，可分別獲得利潤y₁、y₂萬元，利潤曲線分別為C₁：y₁=m•a^x+b，C₂：y₂=cx，其中m，a，b，c都為常數(shù)．如圖所示：
（1）分別求函數(shù)y₁、y₂的解析式；
（2）若該商場一共投資12萬元經(jīng)銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最小值．（可能要用的數(shù)ln2≈0.7）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)y1=m•ax+b過點(0，0)，(2，

5

16

)，(4，

25

16

)，可得

m+b=0 m•a2+b= 5 16 m•a4+b= 25 16

，解出可得y₁的解析式；由函數(shù)y₂=cx過點(3，

7

4

)可得c=

7

12

，從而可得y₂的解析式；
（2）設(shè)該商場經(jīng)銷甲商品投入x萬元，乙商品投入12-x萬元，該商場所獲利潤為y萬元，則y=y1+y2=

5

48

•2x-

5

48

+

7

12

(12-x)=

5

48

•2x-

7

12

x+

331

48

，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值；

解答： 解（1）由函數(shù)y1=m•ax+b過點(0，0)，(2，

5

16

)，(4，

25

16

)，可得

m+b=0 m•a2+b= 5 16 m•a4+b= 25 16

，解得

a=2 b=- 5 48 m= 5 48

，
∴y1=

5

48

•2x-

5

48

，
由函數(shù)y₂=cx過點(3，

7

4

)可得c=

7

12

，∴y2=

7

12

x；
（2）設(shè)該商場經(jīng)銷甲商品投入x萬元，乙商品投入12-x萬元，該商場所獲利潤為y萬元，
則y=y1+y2=

5

48

•2x-

5

48

+

7

12

(12-x)=

5

48

•2x-

7

12

x+

331

48

，
y′=

5

48

•2xln2-

7

12

=

5

48

•

7

10

•2x-

7

12

=

7

96

•2x-

7

12

，
令y'=0可得x=3，y'在（0，12）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（0，3），y'＜0，y在（0，3）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（3，+∞），y'＞0，y在（3，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)x=3時，利潤y有最小值

287

48

．
答：該商場所獲利潤的最小值

287

48

．

點評：該題以實際問題為背景，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查實際問題中函數(shù)解析式，實際問題要考慮實際意義，實際問題中，函數(shù)的極值點往往就是最值點．