Question

（2011•南通模擬）如圖所示：圖1是定義在R上的二次函數f（x）的部分圖象，圖2是函數g（x）=log_a（x+b）的部分圖象．
（1）分別求出函數f（x）和g（x）的解析式；
（2）如果函數y=g（f（x））在區間[1，m）上單調遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題圖1得，二次函數f（x）的頂點坐標可設函數的頂點式f（x）=a（x-1）²+2，又函數f（x）的圖象過點（0，0），求出a，得f（x）的解析式．由題圖2得，函數g（x）=log_a（x+b）的圖象過點（0，0）和（1，1），將點的坐標代入列出關于a，b的方程組，解得a，b．最后寫出g（x）的解析式即可；
（2）由（1）得y=g（f（x））=log₂（-2x²+4x+1）是由y=log₂t和t=-2x²+4x+1復合而成的函數，利用復合函數的單調性研究此函數的單調性，從而得出滿足條件的m的取值范圍．

解答：解：（1）由題圖1得，二次函數f（x）的頂點坐標為（1，2），
故可設函數f（x）=a（x-1）²+2，又函數f（x）的圖象過點（0，0），故a=-2，
整理得f（x）=-2x²+4x．
由題圖2得，函數g（x）=log_a（x+b）的圖象過點（0，0）和（1，1），
故有

logab=0 loga(1+b)=1

∴

a=2 b=1

∴g（x）=log₂（x+1）（x＞-1）．
（2）由（1）得y=g（f（x））=log₂（-2x²+4x+1）是由y=log₂t和t=-2x²+4x+1復合而成的函數，
而y=log₂t在定義域上單調遞增，
要使函數y=g（f（x））在區間[1，m）上單調遞減，
必須t=-2x²+4x+1在區間[1，m）上單調遞減，且有t＞0恒成立．
由t=0得x=

2± 6

2

，又t的圖象的對稱軸為x=1．
所以滿足條件的m的取值范圍為1＜m≤

2+ 6

2

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的圖象和性質、對數函數的圖象和性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．