Question

（2011•南通模擬）若函數f（x）=log_a（x³-ax）（a＞0，a≠1）在區間（-

1

2

，0）內單調遞增，則實數a的取值范圍是

[

3

4

，1）

．

Answer 1

分析：將函數看作是復合函數，令g（x）=x³-ax，且g（x）＞0，得x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），因為函數是高次函數，所以用導數來判斷其單調性，再由復合函數“同增異減”求得結果．

解答：解：令g（x）=x³-ax，則g（x）＞0．得到 x∈（-

a

，0）∪（

a

，+∞），
由于g′（x）=3x²-a，故x∈（-

a 3

，

a 3

）時，g（x）單調遞減，?
x∈（-∞，-

a 3

）或x∈（

a 3

，+∞）時，g（x）單調遞增．?
∴當a＞1時，減區間為（-

a 3

，0），?不合題意，
當0＜a＜1時，（-

a 3

，0）為增區間．?
∴（-

1

2

，0）?（-

a 3

，0），∴-

1

2

≥-

a 3

，∴a≥

3

4

．
綜上，a∈[

3

4

，1）．
故答案為：[

3

4

，1）．

點評：本題主要考查復合函數的單調性，結論是同增異減，解題時一定要注意定義域．