Question

對于定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：（1）對于任意x∈[0，1]，f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x₁≥0，x₂≥0，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）問函數g（x）=f（x）-2x-

1

10

在[

1

2

，1]上是否有零點？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據抽樣函數的性質，利用賦值法即可求f（0）的值；
（Ⅱ）根據賦值法判斷函數的單調性，利用單調性判斷函數是否有零點即可．

解答：解：（Ⅰ）由條件（3）知，令x₁=0，x₂=0，
得f（0）≥f（0）+f（0）．
即f（0）≤0，
由條件（1）f（0）≥0，
∴f（0）=0；
（Ⅱ）由條件（3）知，令x₃=x₁+x₂，
則x₂=x₃-x₁，
即f（x₃）≥f（x₁）+f（x₃-x₁）．
∵x₃＞x₁，
∴0≤x₃-x₁≤1，
∴f（x₃-x₁）≥0，
即f（x₃）≥f（x₁），
∴f（x）在[0，1]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=1．
若存在

1

2

≤a≤1，使得f（a）＞2a≥2×

1

2

=1，與f（x）的最大值1矛盾，
∴對任意的x∈[

1

2

，1]都有f（x）≤2x，
∴恒有f（x）≤2x＜2x+

1

10

，
即f（x）-2x-

1

10

＜0，
∴g（x）=f（x）-2x-

1

10

在[

1

2

，1]上沒有有零點．

點評：本題主要考查抽象函數的應用，利用賦值法是解決抽象函數的基本方法，考查學生分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．