Question

對于定義域為[0，1]的函數f（x），若同時滿足以下三個條件：
①f（1）=1； 
②?x∈[0，1]，總有f（x）≥0； 
③當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），則稱函數f（x）為理想函數．
（Ⅰ）若函數f（x）為理想函數，求f（0）．
（Ⅱ）判斷函數g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）和函數h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]）是否為理想函數？若是，予以證明；若不是，說明理由．
（III）設函數f（x）為理想函數，若?x₀∈[0，1]，使f（x₀）∈[0，1]，且f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（I）賦值可考慮取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
（II）要判斷函數g（x）=2^x-1，h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]）在區間[0，1]上是否為“理想函數，只要檢驗函數g（x）=2^x-1，h(x)=sin

π

2

x（x∈[0，1]是否滿足題目中的三個條件
（III）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能夠推導出f（x₀）=x₀．

解答：解：（I）取x₁=x₂=0，代入f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂），可得f（0）≥f（0）+f（0）
即f（0）≤0
由已知?x∈[0，1]，總有f（x）≥0可得f（0）≥0，
∴f（0）=0
（II）顯然g（x）=2^x-1在[0，1]上滿足g（x）≥0；②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，且x₁+x₂≤1，
則有g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
故g（x）=2^x-1滿足條件①②③，所以g（x）=2^x-1為理想函數．
對應函數h(x)=sin

π

2

x在x∈[0，1]上滿足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，總有h（x）≥0；
③但當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，例如x1=

1

2

=x₂時，h（x₁+x₂）=h（1）=1，而h（x₁）+h（x₂）=2h（

1

2

）=

2

，不滿足條件③，則函數h（x）不是理想函數．
（III）由條件③知，任給m、n∈[0，1]，當m＜n時，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
若f（x₀）＞x₀，則f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若：f（x₀）＜x₀，則f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故f（x₀）=x₀．

點評：采用賦值法是解決抽象函數的性質應用的常用方法，而函數的新定義往往轉化為一般函數性質的研究，本題結合指數函數的性質研究函數的函數的函數值域的應用，指數函數的單調性的應用．