Question

如圖，在四棱錐中，，，為正三角形，且平面平面．

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2） ．

試題分析：（1）取的中點，然后利用矩形及正三角形的性質可證明，，從而可證明結果；（2）可考慮分別以，為軸，軸，軸建立空間直線坐標系，通過求兩個平面的法向量的夾角來求二面角的余弦值．或考慮通過過點作，然后證明為所求二面角的一個平面角，再在中進行計算．
（1）證明：取的中點，連接，
∵為正三角形，∴．
又∵在四邊形中，
，∴,且，
∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴ ，
∴，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分別以，為軸，軸，軸建立如圖，

所示的直角坐標系，并設，則，,
∴，，，，，
∴，,,         ．
設平面，平面的法向量分別為，
則∴
∴分別取平面，平面的一個法向量，
∴，
∴二面角的余弦值為．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，
過點作，垂足為，連接，則，于是為所求二面角的一個平面角，
設，則，，，
∴∴二面角的余弦值為．