Question

【題目】已知函數 ．
（1）試求f（x）的單調區間；
（2）求證：不等式對于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

【答案】解：（1）．
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞0時，x∈（0，a）時，f′（x）＜0，在上單調遞減； x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，在（a，+∞）上單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）；
當a＞0時，f（x）的單調遞增區間為（a，+∞），單調遞減區間為（0，a）．
（2）證明：要證，即證lnx＞
設g（x）=lnx﹣，∴g′（x）=﹣＞0x∈（1，2）恒成立，
∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，
即．
【解析】（1）函數的定義域是（0，+∞），求出導數，分a≤0和a＞0兩種情況討論導數的符號，得到單調區間．
（2）將要證的不等式等價轉化為g（x）＞0在區間（1，2）上恒成立，利用導數求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．