Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，對角線，交于點．

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求證：；

（Ⅲ）在棱上是否存在點（異于點），使得平面？說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）不存在，理由詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據菱形的對角線互相垂直，再結合已知垂直條件，利用線面垂直的判定定理可以證明出平面；

（Ⅱ）由面面垂直的性質定理和菱形的對角線互相垂直，可以得到，再根據菱形對角線互相平分，這樣可以證明出；

（Ⅲ）假設存在，根據菱形的性質和已知的平行條件， 可以得到平面平面，顯然不可能，故假設存在不成立，故不存在，命題得證.

（Ⅰ）證明：因為底面是菱形，

所以．因為，，平面，

所以平面．

（Ⅱ）證明：連接．

由（Ⅰ）可知．

因為平面平面，

所以平面．

因為平面，

所以．

因為底面是菱形，

所以．

所以．

（Ⅲ）解：不存在，證明如下．

假設存在點（異于點），使得平面．

因為菱形中，，且平面，

所以平面．

又因為平面，所以平面平面．

這顯然矛盾！

從而，棱上不存在點，使得平面．