Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，，，，，且，，．

（1）證明：平面；

（2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先取的三等分點，連結，，根據題意得到，，即四邊形是平行四邊形，所以.再根據線面平行的判定即可證明平面.

（2）首先證明平面，再分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標系，求出，平面法向量，代入點到面的距離公式即可.

（3）分別求出平面和平面的法向量，代入二面角公式即可.

（1）

取的三等分點，連結，，則．

又因為，所以.

因為，所以，四邊形是平行四邊形.

所以，

又平面平面，平面PAD，

所以平面.

（2）設點到平面的距離為．

因為，，所以，

所以，因為，，

所以平面.

分別以，，為軸軸軸，建立空間坐標系，

，，，，，.

，，.

設平面法向量，

因為，所以，

點到平面的距離，

點到平面的距離為．

（3），，

設平面的法向量為，則

，即，

，，

設平面的法向量為，

，即，

所以，二面角的余弦值為.