Question

【題目】已知函數的圖像與x軸相鄰的兩交點間的距離為，把函數的圖像沿x軸向左平移個單位，得到函數的圖像，關于函數，現有如下命題：

①在上是減函數；②其圖像關于點對稱；

③函數是奇函數；④當時，函數的值域為.

其中真命題的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意得到周期，從而得到的值，得到的解析式，再根據平移，得到的解析式，然后求出的圖像與性質，對四個命題進行判斷，得到答案.

因為圖像與x軸相鄰的兩交點間的距離為，

所以，即，

所以.

所以

，

把函數的圖象沿軸向左平移個單位，

得

，

即.

令，，

得，，

所以的單調遞減區間，，

當，得單調遞減區間為，

所以在上是減函數，

所以①正確；

令，，

所以，，

所以的對稱中心為，

所以時，是的一個對稱中心，

所以②正確；

，定義域，

，

所以，

所以為偶函數，

所以③不正確；

當時，，

，

即函數的值域為.

所以④正確.

故選：C.