Question

設函數f(x)=x3-

9

2

x2+6x-a．
（1）對于任意實數x，f′（x）≥m在（1，5]恒成立（其中f′（x）表示f（x）的導函數），求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，等價于m≤（3x²-9x+6）_min，根據二次函數的性質即可求得其最小值；
（2）結合圖象，方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，等價于函數f（x）只有一個零點，利用導數求出函數f（x）的極大值、極小值，只需令極大值小于0或極小值大于0即可；

解答：解：（1）f′（x）=3x²-9x+6，
f′（x）≥m在（1，5]恒成立，等價于m≤3x²-9x+6在（1，5]恒成立，
由f′（x）=3x²-9x+6=3(x-

3

2

)2-

3

4

在[1，5]上的最小值為-

3

4

，
所以m≤-

3

4

，即m的最大值為-

3

4

．
（2）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
當x＜1或x＞2時f′（x）＞0，當1＜x＜2時f′（x）＜0，
所以函數f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，
所以f（x）_極大值=f（1）=

5

2

-a，f（x）_極小值=f（2）=2-a，
故當f（1）＜0或f（2）＞0時，方程f（x）=0在R上有且僅有一個實根，解得a＞

5

2

或a＜2，
所以所求a的取值范圍為：（-∞，2）∪（

5

2

，+∞）．

點評：本題考查利用導數求函數的最值、函數恒成立及函數的零點，考查轉化思想、數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力，恒成立問題常轉化為函數最值問題解決，而方程根的個數可轉化為函數零點解決．