Question

設函數(shù)f(x)=

x

3

-3a

x

2

+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（I）求a，b的值；
（II）如果函數(shù)g（x）=f（x）+c有三個不同零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)在切點處的導數(shù)值為切線斜率，切點在切線上，列方程組可解；
（Ⅱ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，從而可得函數(shù)的極值，要使函數(shù)g（x）=f（x）+c有三個不同零點，只需函數(shù)的極值異號，從而可得不等式，由此即可求得c的取值范圍．

解答：解：（I）求導得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：

1-3a+3b=-11 3-6a+3b=-12

，解得：a=1，b=-3．
（II）由a=1，b=-3得：g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令g′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故當x∈（-∞，-1）時，g（x）是增函數(shù)；當x∈（-1，3）時，g（x）是減函數(shù)；
當x∈（3，+∞）時，g（x）是增函數(shù)，
所以g（x）的極大值為5+c；g（x）的極小值為c-27
∵函數(shù)g（x）=f（x）+c有三個不同零點，∴（5+c）（c-27）＜0
∴-5＜c＜27
∴c的取值范圍為（-5，27）．

點評：本題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．