Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，點M為PC的中點．

（1）求證：PA∥平面BMD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若AB=PD=2，求點A到平面BMD的距離．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC和BD交于點O，則由底面ABCD是平行四邊形可得O為AC的中點．

由于點M為PC的中點，故MO為三角形PAC的中位線，故MO∥PA．再由PA不在平面BMD內，而MO在平面BMD內，

故有PA∥平面BMD

（2）證明：由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，平行四邊形ABCD中，∵∠BCD=60°，AB=2AD，

∴cos∠BAD= =cos60°= ，∴AD⊥BD．

這樣，AD垂直于平面PBD內的兩條相交直線，故AD⊥平面PBD，∴AD⊥PB

（3）解：若AB=PD=2，則AD=1，BD=ABsin∠BAD=2× = ，

由于平面BMD經過AC的中點，故點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離．

取CD得中點N，則MN⊥平面ABCD，且MN= PD=1．

設點C到平面MBD的距離為h，則h為所求．

由AD⊥PB 可得BC⊥PB，故三角形PBC為直角三角形．

由于點M為PC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得MD=MB，故三角形MBD為等腰三角形，

故MO⊥BD．

由于PA= = = ，∴MO= ．

由VM﹣BCD=VC﹣MBD 可得， （ ）MN= （ ×BD×MO ）×h，

故有 ×（ ）×1= （ ）h，

解得h= ．

【解析】（1）設AC和BD交于點O，MO為三角形PAC的中位線可得MO∥PA，再利用直線和平面平行的判定定理，證得結論．（2）由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AD，再由cos∠BAD= = ，證得 AD⊥BD，可證AD⊥平面PBD，從而證得結論．（3）點A到平面BMD的距離等于點C到平面BMD的距離h，求出MN、MO的值，利用等體積法求得點C到平面MBD的距離h．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．