Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數f（x）=（

a

+

b

）•

b

+k．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）的解析式，并說明如何由y=sinx的圖象變換得到y=f（x）的圖象．

Answer 1

分析：利用向量的數量積，化簡函數的表達式，通過二倍角、兩角差的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用周期與函數f（x）的圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，得到關系式，求出ω的取值范圍；
（2）通過周期求出ω，通過函數的最大值，求出x的值，然后確定k的值．利用函數圖象平移的原則：左加右減，上加下減由函數y=sinx的圖象變換得到函數y=f（x）的圖象．

解答：解：∵

a

=（

3

cosωx，sinωx），

b

=（sinωx，0），
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx）．
故f（x）=（

a

+

b

）•

b

+k=

3

sinωxcosωx+sin²ωx+k
=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．
（1）由題意可知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

．
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]．
從而當2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

時，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

．故f（x）=sin（2x-

π

6

）．
由函數y=sinx的圖象向右平移

π

6

個單位長度，得到函數y=sin（x-

π

6

）的圖象，再將得到的函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的

1

2

倍（縱坐標不變），得到函數y=sin（2x-

π

6

）的圖象．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡、公式的應用、周期的求法、最值的應用及函數圖象的變換，還考查發現問題解決問題的能力、計算能力，是常考題型．