Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，其中ω＞0，函數f(x)=(

a

+

b

)•

b

+k．
（1）若f（x）圖象申相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由題設條件先推導出f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．再由f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，利用ω＞0，能求出ω的取值范圍．
（2）由f（x）的最小正周期為π，能導出ω=1，故f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

，由當x∈[-

π

6

，

π

6

]時，f（x）的最大值是

1

2

，能求出k，進而能求出f（x）．

解答：解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴

a

+

b

=（

3

cosωx+sinωx，sinωx），
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

+k
=

3

sinωxcosωx+sin2ωx+k
=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin（2ωx-

π

6

）+k+

1

2

．
∵f（x）圖象中相鄰兩條對稱軸間的距離不小于

π

2

，
∴

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1，
∵ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T=

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+k+

1

2

，
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]，
從而當2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

時，
f(x)max=f(

π

6

)=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

，
故f（x）=sin（2x-

π

6

）．

點評：本題考查三角函數的恒等變換的應用，考查三角函數解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．