Question

【題目】已知函數，，設的定義域為.

（1）求；

（2）用定義證明在上的單調性，并直接寫出在上的單調性；

（3）若對一切恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）證明見解析；單調遞減；

（3）.

【解析】

（1）根據指數函數的性質求出函數的定義域；

（2）根據定義證明單調性的步驟證明即可，結合復合函數的單調性得到在上的單調性；

（3）若對一切恒成立，轉化為，結合三角函數的最值，可求出a的范圍.

解：（1）

要使函數有意義，則，

即，

∴，

故函數的定義域為：

（2）f（x）在上單調遞減，

證明如下：設＜＜3，

則f（x1）﹣f（x2）＝，

又＜＜3，

∴，，，

∴f（x1）﹣f（x2）>0,即f（x1）>f（x2）

∴f（x）在（﹣∞，3）上單調遞減,

∴在（﹣∞，3）上單調遞減.

（3）∵對一切恒成立，

∴

由 ，可得，又，

∴，即；

由，可得

又，

∴，

解得：，或

又

故a的取值范圍為 ．