Question

已知函數R，a＞1），
（1）求函數f（x）的值域；
（2）記函數g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值與a無關，求a的取值范圍；
（3）若，直接寫出（不需給出演算步驟）關于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

解：（1）①x≥0時，∵，
當且僅當，即時等號成立；
②x＜0，∵，
由①②知函數f（x）的值域為．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0時，∵，
令t=a^x，則，記，，當且僅當，時等號成立，
（i），即時，結合①知與a無關；
（ii），即時，，∴h（t）在上是增函數，，
結合①知與a有關；
綜上，若g（x）的最小值與a無關，則實數a的取值范圍是．
（3）①時，關于x的方程f（x）=m的解集為；
②m＞3時，關于x的方程f（x）=m的解集為或．
分析：（1）表達式形式上提醒我們可以嘗試基本不等式求解，則需要對自變量x的絕對值符號進行討論分析．不過要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用條件．
（2）本題需要通過f（x）求出g（x）表達式，觀察表達式可知，解決本題的關鍵是對函數解析式中絕對值符合的處理，要去掉絕對值符號可以根據定義分類討論．
（3）需要對變量m分以下兩種情況討論：
點評：（1）去絕對值符號的兩種常用方法：
①絕對值定義法：|x|=
②要去絕對值式子兩端同時平方．
（2）使用均值不等式的條件：
①一正（a，b都是正數）；
②二定（若求a+b則ab是定值，若求ab則a+b是定值）；
③三等．（當且僅當a=b時不等式取“=”）．