Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求異面直線EF與AB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一點P，使得二面角P-AC-B的大小為30°？若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，先寫出各點坐標：
（I）取AD₁中點G，則G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），證明

EF

與

CG

共線即可；
（II）求出兩異面直線的方向向量，用數量積公式求夾角余弦即可，易求；
（III）假設存在，設出點P的空間坐標，根據題設中所給的條件二面角P-AC-B的大小為30°利用數量積公式建立關于引入的參數的方程即可，若求得的參數符合題意，則說明存在，否則說明不存在．

解答：解：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、
C（0，2，0）、B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
（I）取AD₁中點G，則G（1，0，1），

CG

=（1，-2，1），又

EF

=（-1，2，-1），由

EF

=-

CG

，
∴

EF

與

CG

共線．
從而EF∥CG，
∵CG?平面ACD₁，EF?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．（6分）
（II）∵

AB

=（0，2，0）∴cos＜

EF

，

AB

＞ =

AB • EF

| AB ||  EF |

=

4

2 6

=

6

3

（III）假設滿足條件的點P存在，可設點P（2，2，t），（0＜t≤2），

AP

=（0，2，t），

AC

=（-2，2，0）
平面ACP的一個法向量為

n

=(x，y，z)則

n • AP =0 n •  AC =0

∴

-2x+2y=0 2y+tz=0

取

n

=（1，1，-

2

t

），易知平面ABC的一個法向量

BB 1

=（0，0，2）依題意知＜ 

BB 1

，

n

＞=300或1500∴|cos＜

BB 1

，

n

＞|=

|- 4 t |

2× 2+ 4 t2

=

3

2

解得t=

6

3

∈（0，2）∴在棱BB₁上存在一點P，當BP的長為

6

3

時，二面角P-AC-B的大小為30°

點評：本題考查用向量法證明線面平行，求異面直線所成的角以及二面角，用向量方法解決立體幾何中的位置關系、夾角及距離問題是空間向量的一個重要運用，學習時注意總結向量法解立體幾何題的規律，此方法也是近幾年高考比較熱的一個考點．