Question

【題目】已知直線l1：2x－y＋6＝0和直線l2：x＝－1，F是拋物線C：y2＝4x的焦點，點P在拋物線C上運動，當點P到直線l1和直線l2的距離之和最小時，直線PF被拋物線所截得的線段長是________．

Answer 1

【答案】20

【解析】

由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1，0)的距離．點P到直線l1和直線l2的距離之和最小即轉化為點P到點F(1，0)和直線l1的距離之和最小,此時PF⊥l1進而得到直線PF的方程，再由焦點弦的性質得到結果.

直線l2為拋物線y2＝4x的準線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F(1，0)的距離．點P到直線l1和直線l2的距離之和最小即轉化為點P到點F(1，0)和直線l1的距離之和最小，當點P到點F(1，0)和直線l1的距離之和最小時，直線PF⊥l1，從而直線PF方程為y＝－ (x－1)，代入C方程得x2－18x＋1＝0，所以x1＋x2＝18，從而所求線段長為x1＋x2＋p＝18＋2＝20.

故答案為：20.