Question

已知f（x）=sin²x+sinxcosx，x∈[0，

π

2

]
（1）求f（x）的值域；
（2）若f（α）=

5

6

，求sin2α的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先，化簡函數解析式：f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，然后，根據x∈[0，

π

2

]，求解f（x）的值域；
（2）根據（1）的函數解析式，因為sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

），先求解cos（2α-

π

4

）=

7

3

，然后求解．

解答： 解：（1）f（x）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
當2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時，f（x）有最小值0．當2x-

π

4

=

π

2

時，f（x）有最大值

2 +1

2

．
f（x）值域：[0，

2 +1

2

]．
（2）f（α）=

2

2

sin（2α-

π

4

）+

1

2

=

5

6

，得
sin（2α-

π

4

）=

2

3

，
∵α∈[0，

π

2

]，
∴2α-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
又∵0＜sin（2α-

π

4

）=

2

3

＜

2

2

，
∴2α-

π

4

∈（0，

π

4

），
得cos（2α-

π

4

）=

1-( 2 3 )2

=

7

3

，
∴sin2α=sin（2α-

π

4

+

π

4

）
=

2

2

[sin（2α-

π

4

）+cos（2α-

π

4

）]
=

2+ 14

6

．
∴sin2α的值

2+ 14

6

．

點評：本題重點考查了三角恒等變換公式、輔助角公式、二倍角公式、三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．