Question

已知函數f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R是常數．

(1)求函數y＝f(x)的圖象在點P(1，f(1))處的切線l的方程；

(2)證明函數y＝f(x)(x≠)的圖象在(1)中切線l的下方；

(3)討論函數y＝f(x)零點的個數．

Answer 1

答案：
解析：

(1)，；1分，所以切線的方程為，即；2分． 　　(2)作，；3分，則 　　，解得；4分． 　　5分 　　所以且，，，即函數()的圖像在直線的下方；6分． 　　(3)有零點，即有解，；7分 　　，解得；8分， 　　類似(1)列表討論知，即若有零點，則；若，則無零點；9分． 　　若，，由⑴知有且僅有一個零點；10分 　　若，單調遞增，由冪函數與對數函數單調性比較知有且僅有一個零點(或：直線與曲線有一個交點)；11分 　　若，解得，類似⑴列表討論知，在處取最大值；12分， 　　，由冪函數與對數函數單調性比較知，當充分大時，即在單調遞減區間有且僅有一個零點；13分； 　　又因為，所以在單調遞增區間有且僅有一個零點，綜上所述，當時，無零點；當或時，有且僅有一個零點；當時，有兩個零點；14分．