Question

【題目】已知函數(shù)圖像上一點處的切線方程為

（1）求的值；

（2）若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍；

（3）令如果的圖像與軸交于兩點，的中點為，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，利用切線方程求得，代入曲線可得關于的方程，與聯(lián)立可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在上有兩個交點；利用導數(shù)得到在上的單調(diào)性和最值，從而確定有兩個交點時的取值范圍，進而得到結(jié)果；（3）采用反證法，假設，利用在上，中點坐標公式和可化簡整理得到，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可知在上單調(diào)遞增，從而得到，與等式矛盾，可知假設不成立，從而證得結(jié)論.

由題意得：定義域為；

（1）在處的切線方程為：

，解得：

（2）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不等實根等價于與的圖象在上有兩個交點

由（1）知：，

當時，；當時，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，

，解得：

（3），則

假設，則有：

…①；…②；

…③；…④

①②得：

由④得： ，即：

，即

令，由得：

設，

在上單調(diào)遞增

不成立，即假設不成立