Question

已知、分別是橢圓: 的左、右焦點，點在直線上，線段的垂直平分線經過點．直線與橢圓交于不同的兩點、，且橢圓上存在點，使，其中是坐標原點，是實數．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）當取何值時，的面積最大？最大面積等于多少？

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）當時，的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：1.由于題目較長，一些考生不能識別有效信息，未能救出橢圓的方程求.2. 第（Ⅰ）問，求的取值范圍.其主要步驟與方法為：由，得關于、的不等式…… ①.由根與系數的關系、，在橢圓上，可以得到關于、、的等式……    ②．把等式②代入①，可以達到消元的目的，但問題是這里一共有三個變量，就是消了，那還有關于和的不等式，如何求出的取值范圍呢？這將會成為難點.事實上，在把等式②代入①的過程中，和一起被消掉，得到了關于的不等式.解之即可.

3.第（Ⅱ）問要把的面積函數先求出來.用弦長公式求底，用點到直線的距離公式求高，得到的面積，函數中有兩個自變量和，如何求函數的最大值呢？這又成為難點.這里很難想到把②代入面積函數中，因為②中含有三個變量，即使代入消掉一個后，面積函數依然有兩個自變量.但這里很巧合的是：代入消掉后，事實上，也自動地消除了，于是得到了面積和自變量的函數關系，再由第（Ⅰ）中所得到的的取值范圍，利用均值不等式，即可求出面積的最大值了.

試題解析：:（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，根據題意得

 解方程組得

∴橢圓的方程為．

由，得．

根據已知得關于的方程有兩個不相等的實數根.

∴，

化簡得：．

設、，則

．

（1）當時，點、關于原點對稱，，滿足題意；

（2）當時，點、關于原點不對稱，.

由，得 即 

∵在橢圓上，∴，

化簡得：．

∵，∴．

∵，

∴，即且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是．

（Ⅱ）當時，，此時，、、三點在一條直線上，不構成.

∴為使的面積最大，.

 ∵

∴.

∵原點到直線的距離，

∴的面積．

∵，，

∴.

∴．

∵，

∴．

“” 成立，即．

∴當時，的面積最大，最大面積為

考點：直線和橢圓的相關問題，綜合考查考生的運算求解能力.