Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，，.

(1)證明：平面平面；

(2)有一動點在底面的四條邊上移動，求三棱錐的體積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)取中點，連結，，，由已知可得為等邊三角形，為等腰三角形，可得，，進而可得平面平面，由勾股定理可證，再由面面垂直的性質定理即可證得平面平面；

(2)結合圖形可知當在點處，此時三棱錐的體積最大，而，故只需求三棱錐的體積即可.

如圖，取中點，連結，，，

因為，為的中點，所以，

又底面為菱形，所以，又，

所以為等邊三角形，又為的中點，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面，

又在等邊三角形中，，所以，

又在中，，，所以，

所以，所以，

又平面平面，平面，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

(2)當在點處，此時三棱錐的體積最大，

因為，，，

在菱形中，，，

所以，

由(1)知平面，，

所以，

所以三棱錐的體積的最大值為.