Question

【題目】已知橢圓：的左焦點，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）經過圓：上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別記為，，直線，分別與圓相交于異于點的，兩點.

（i）求證：；

（ii）求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）.

【解析】

（Ⅰ）根據題意可知，，，再結合即可解出，得到

橢圓的標準方程；

（Ⅱ）（i）根據直線，的斜率都存在或者直線，其中一條直線斜率不存在分類討論，當直線，的斜率都存在時，聯立直線與橢圓方程，根據可得直線，的斜率的關系，結合點在圓上可得，即證出，當直線或的斜率不存在時，可確定點坐標，即可求出，兩點坐標，易得；

（ii）設出點，，分類討論直線的斜率存在時以及不存在時的情況，由直線的方程與橢圓方程聯立可得，即可得到直線的斜率存在或不存在時的方程為，同理可得直線的方程為，即可得直線的方程為，再與橢圓方程聯立求得弦長，由點到直線的距離公式求出點到直線的距離，從而得到的面積的表達式，再根據換元法以及函數值域的求法即可求解．

（Ⅰ）∵橢圓的左焦點，∴.

將代入，得.

又，∴，.

∴橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）（i）設點.

①當直線，的斜率都存在時，設過點與橢圓相切的直線方程為.

由，消去，

得.

.

令，整理得.

設直線，的斜率分別為，.∴.

又，∴.

∴，即為圓的直徑，∴.

②當直線或的斜率不存在時，不妨設，

則直線的方程為.

∴，，也滿足.

綜上，有.

（ii）設點，.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由，消去，得.

.

令，整理得.

則.

∴直線的方程為.

化簡可得，即.

經驗證，當直線的斜率不存在時，

直線的方程為或，也滿足.

同理，可得直線的方程為.

∵在直線，上，∴，.

∴直線的方程為.

由，消去，得.

∴，.

∴

.

又點到直線的距離.

∴.

令，.則.

又，∴的面積的取值范圍為.