Question

已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為x=

5

5

，離心率e=

5

．
（Ⅰ）求該雙曲線的方程；
（Ⅱ）如圖，點A的坐標為(-

5

，0)，B是圓x2+(y-

5

)2=1上的點，點M在雙曲線右支上，|MA|+|MB|的最小值，并求此時M點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，
故可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
設c=

a2+b2

，
由準線方程為x=

5

5

得

a2

c

=

5

5

，由e=

5

得

c

a

=

5

解得a=1，c=

5

從而b=2，∴該雙曲線的方程為x2-

y2

4

=1；

（Ⅱ）設點D的坐標為(

5

，0)，
則點A、D為雙曲線的焦點，|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|，
∵B是圓x2+(y-

5

)2=1上的點，
其圓心為C(0，

5

)，半徑為1，
故|BD|≥|CD|-1=

10

-1
從而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥

10

+1
當M，B在線段CD上時取等號，
此時|MA|+|MB|的最小值為

10

+1
∵直線CD的方程為y=-x+

5

，
因點M在雙曲線右支上，故x＞0
由方程組

4x2-y2=4 y=-x+ 5

解得x=

- 5 +4 2

3

，y=

4 5 -4 2

3

所以M點的坐標為(

- 5 +4 2

3

，

4 5 -4 2

3

)