Question

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，EC⊥平面ABCD，AB= ，CE=1，G為AC與BD交點(diǎn)，F(xiàn)為EG中點(diǎn)， （Ⅰ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵ABCD為正方形， ， ∴AC=2，AC⊥BD，則CG=1=EC，
∵又F為EG中點(diǎn)，∴CF⊥EG．
∵EG⊥面ABCD，AC∩BD=G，BD⊥平面ECF，
∴CF⊥BDBD∩EG=G，∴CF⊥平面BDE
（Ⅱ）

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C（0，0，0）， ， [， ，E（0，0，1）
由（Ⅰ）知， 為平面BDE的一個法向量
設(shè)平面ABE的法向量n=（x，y，z），
則 即
∴ ∴
從而 ∴二面角A﹣BE﹣D的大小為 ．
【解析】（Ⅰ）先用BD垂直于平面ACE證出CF⊥BD，在直角三角形ECG中證明CF⊥EG，即可由線面垂直的判定定理證明CF⊥平面BDE；（Ⅱ）本題作二面角的平面角不易作出，但圖形的結(jié)構(gòu)易于建立空間坐標(biāo)系，故建立如圖的空間坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量由數(shù)量積公式求解二面角即可
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．