Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為.過作直線交橢圓于，過作直線交橢圓于，且垂直于點.

(Ⅰ)證明：點在橢圓內部；

(Ⅱ)求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)由可求得，從而橢圓標準方程，再由已知求出點軌跡方程為，而此圓在題設橢圓內部，因此可證P點在橢圓內部；

(Ⅱ)分類討論，當斜率不存在時，可求出四邊形ABCD的面積，同理當斜率不0時，

與剛才一樣，當斜率存在且不為0時，設方程為，這樣就有方程為，設，利用圓錐曲線中的弦長公式求得弦長，同理可得弦長，于是可得面積為的函數，利用函數的知識可求得的最小值，從而得出結論.

詳解：

(Ⅰ)由題意得,故,所以橢圓方程為.

由于分別為過兩焦點, 且垂直相交于點,則的軌跡為以為直徑的圓，

即的軌跡方程為,

又因為，所以點在橢圓內部.

(Ⅱ)①當斜率不存在時,直線的方程為, 此時直線的方程為,

此時四邊形的面積為.

同時當斜率為0時,此時的斜率不存在,易得.

②當斜率存在且不為0時，設直線方程為,直線方程為,

設,聯立，消去整理得,

所以,

所以.

同理得

則

令，則

即當，即時，

綜合上式①②可得，當時， .

求最值的其它方法: ,令,得,

因為,當時， ,且是以為自變量的增函數，所以.

綜上可知, . 即四邊形面積的最小值為.

方法二:①當斜率為0,此時直線軸,此時四邊形的面積為.

同時當斜率為0時，此時軸，易得.

②當斜率存在且不為0時,設直線方程為,直線方程為,

設，聯立,消去整理得,

所以,

所以.

同理得

則

下同解法一.