Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點分別為.過原點的直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，若， ，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2） 設橢圓在點處的切線記為直線，點在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)1.

【解析】試題分析; （1）設，則，∴ ，設， ，以及， ，由,由橢圓的定義可得，結合，綜合可得： ，可得橢圓的方程；

（2）由（1）知，直線的方程為： ，由此可得

.，又∵，∴ 的方程為，可得

則可得，又，∴ .，故.

當直線平行于軸時，易知，結論顯然成立.

綜上，可知為定值1.

試題解析：（1）設，則，∴，設，由，

，將代入，整體消元得：

，∴

由,且 ，∴ ，

由橢圓的對稱性知，

有，則

∵，綜合可得：

∴橢圓的方程為： .

（2）由（1）知，直線的方程為：

即： ，所以

∴.

∵，∴ 的方程為，令，可得，∴

則

又點到直線的距離為，∴.

∴.

當直線平行于軸時，易知，結論顯然成立.

綜上， .