Question

如圖，設計建造一個面積為4840m²的矩形蔬菜溫室，其長與寬的比為λ（λ＞1）．沿溫室的左、右兩側各留8m寬的空道，上、下兩側各留5m寬的空道．試確定溫室的長和寬，使其占地（包括蔬菜溫室及空道）面積最小．

Answer 1

分析：設矩形溫室寬為xm，則長為λxm，依題意有λx²=4840，記矩形溫室的占地面積為S，則S=（λx+16）（x+10）=λx²+（10λ+16）x+160，代入利用基本不等式，即可求最值．

解答：解：設矩形溫室寬為xm，則長為λxm，依題意有λx²=4840．        …（2分）
記矩形溫室的占地面積為S，則S=（λx+16）（x+10）=λx²+（10λ+16）x+160．                    …（5分）
將λ=

4840

x2

代入上式，整理得S=5000+16(x+

3025

x

)．                                    …（8分）
根據均值定理，當x=

3025

x

時，即x=55（此時λ=

8

5

＞1）時，S取得最小值．    …（11分）
此時，溫室的長為λx=

8

5

×55=88 m．                              …（12分）
答：矩形溫室的長為88m，寬為55m時，溫室的占地面積最小．       …（13分）

點評：本題考查函數模型的建立，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．