Question

如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館．為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓．設扇形的半徑OM=R，∠MOP=45°，OB與OM之間的夾角為θ．
（I）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數．
（II）若R=45m，求當θ為何值時，矩形ABCD的面積S有最大值？其最大值是多少？（精確到0.01m²）

Answer 1

分析：（Ⅰ）要建立矩形面積模型，則只須表示出AB，BC即可，易知點M為

PQ

的中點，則有OM⊥AD．設OM于BC的交點為F，則BC=2Rsinθ，.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．再用面積公式求解．
（Ⅱ）由（I）由θ∈(0，

π

4

)，確定2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．再利用正弦函數最值求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，點M為

PQ

的中點，所以OM⊥AD．
設OM于BC的交點為F，則BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ.AB=OF-

1

2

AD=Rcosθ-Rsinθ．
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）
=R²（sin2θ-1+cos2θ）=

2

R2sin(2θ+

π

4

)-R2，θ∈(0，

π

4

)．
（Ⅱ）因為θ∈(0，

π

4

)，則2θ+

π

4

∈(

π

4

，

3π

4

)．
所以當2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

時，S有最大值．
Smax=(

2

-1)R2=(

2

-1)×452=0.414×2025=838.35．
故當θ=

π

8

時，矩形ABCD的面積S有最大值838.35m²．

點評：本題主要考查應用題建模和解模問題，關鍵是明確關鍵詞，關鍵句，建立模型的同時，也要明確條件．