Question

【題目】已知曲線上的點到的距離比它到直線的距離少3.

（1）求曲線的方程；

（2）過點且斜率為的直線交曲線于，兩點，交圓于，兩點，，在軸上方，過點，分別作曲線的切線，，，求與的面積的積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用拋物線的定義即可求解；

（2）設出方程，，點到坐標，與聯立，根據韋達定理求出和，再利用導數及點斜式方程，求出，的方程，聯立求出點坐標，借助點到直線距離、拋物線定義及三角形面積的求法，即可得解.

（1）因為曲線上的點到的距離比它到直線的距離少3，

所以曲線上的點到的距離和它到直線的距離相等，

故曲線是為焦點，為準線的拋物線，

故.

（2）由題設知：，則，

設，

，在軸上方，，，，，

與聯立，得，

則，，

由，得時，，則；

時，，則，

，，

故，，

，聯立消，得，解得，

將代入，方程，，，

兩式相加得，解得

，

，

到的距離，

，

，

，

與的面積的積的取值范圍是.