Question

已知圓O：x²+y²=r²（r＞0）與直線x-y+2

2

=0相切．
（1）求圓O的方程；
（2）過點（1，

3

3

）的直線l截圓所得弦長為2

3

，求直線l的方程；
（3）設圓O與x軸的負半軸的交點為A，過點A作兩條斜率分別為k₁，k₂的直線交圓O于B，C兩點，且k₁k₂=-2，試證明直線BC恒過一個定點，并求出該定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由圓O與直線相切，得到圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可確定出圓的方程；
（2）分兩種情況考慮：當直線l斜率不存在時，直線x=1滿足題意；當直線l斜率存在時，設出直線方程，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離d=r，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線l的方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（3）根據題意求出A的坐標，設出直線AB的解析式，與圓方程聯立消去y得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之積，將A的橫坐標代入表示出B的橫坐標，進而表示出B的縱坐標，確定出B坐標，由題中k₁k₂=-2，表示出C坐標，進而表示出直線BC的解析式，即可確定出直線BC恒過一個定點，求出定點坐標即可．

解答：解：（1）∵圓O：x²+y²=r²（r＞0）與直線x-y+2

2

=0相切，
∴圓心O到直線的距離d=

2 2

12+(-1)2

=2=r，
∴圓O的方程為x²+y²=4；   
（2）若直線l的斜率不存在，直線l為x=1，
此時直線l截圓所得弦長為2

3

，符合題意；
若直線l的斜率存在，設直線為y-

3

3

=k（x-1），即3kx-3y+

3

-3k=0，
由題意知，圓心到直線的距離為d=

| 3 -3k|

9k2+9

=1，解得：k=-

3

3

，
此時直線l為x+

3

y-2=0，
則所求的直線為x=1或x+

3

y-2=0；
（3）由題意知，A（-2，0），設直線AB：y=k₁（x+2），
與圓方程聯立得：

y=k1(x+2) x2+y2=4

，
消去y得：（1+k₁²）x²+4k₁²x+（4k₁²-4）=0，
∴x_A•x_B=

4k12-4

1+k12

，
∴x_B=

2-2k12

1+k12

，y_B=

4k1

1+k12

，即B（

2-2k12

1+k12

，

4k1

1+k12

），
∵k₁k₂=-2，用

-2

k1

代替k₁得：C（

2k12-8

4+k12

，

-8k1

4+k12

），
∴直線BC方程為y-

-8k1

4+k12

=

4k1  1+k12 - -8k1  4+k12

2-2k12 1+k12 - 2k12-8 4+k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
即y-

-8k1

4+k12

=

3k1

2-k12

（x-

2k12-8

4+k12

），
整理得：y=

3k1

2-k12

x+

2k1

2-k12

=

3k1

2-k12

（x+

2

3

），
則直線BC定點（-

2

3

，0）．

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：韋達定理，直線的兩點式方程，點到直線的距離公式，以及恒過定點的直線方程，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．