Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2x+t與兩坐標(biāo)軸分別交于不同的三點A、B、C．
（1）求實數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=-3時，求經(jīng)過A、B、C三點的圓F的方程；
（3）過原點作兩條相互垂直的直線分別交圓F于M、N、P、Q四點，求四邊形MPNQ的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，利用根的判別式與拋物線不經(jīng)過原點，建立關(guān)于t的不等式，解之即可得到實數(shù)t的取值范圍；
（2）當(dāng)t=-3時，代入函數(shù)表達式求出A、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建立方程組，解之即可得到經(jīng)過A、B、C三點的圓F的方程；
（3）作FD⊥MN、FE⊥PQ，垂足分別為D、E，則D、E分別為MN、PQ的中點，從而得出|MN|=2

5-|FD|2

，|PQ|=2

5-|FE|2

．由矩形的性質(zhì)得到|FD|²+|FE|²=|OF|²=2，再利用對角線互相垂直的四邊形面積公式與基本不等式加以計算，可得四邊形MPNQ的面積的最大值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得

△=4-4t＞0 t≠0

，
解之得t＜1且t≠0，
即實數(shù)t的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）；
（2）當(dāng)t=-3時，二次函數(shù)f（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1），
∴圖象交x軸于點A（-1，0），B（3，0），交y軸于點C（0，-3），
設(shè)經(jīng)過A、B、C的圓方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
可得

(-1-a)2+(0-b)2=r2 (3-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(-3-b)2=r2

，解之得a=1，b=-1，r=

5

．
∴經(jīng)過A、B、C三點的圓F的方程為（x-1）²+（y+1）²=5；
（3）如圖所示，作FD⊥MN、FE⊥PQ，垂足分別為D、E，
由垂徑定理得D、E分別為MN、PQ的中點，
可得|MN|=2

5-|FD|2

，|PQ|=2

5-|FE|2

．
∵|FD|²+|FE|²=|OF|²=2
∴四邊形MPNQ的面積為
S=

1

2

•|MN|•|PQ|=

1

2

×2

5-|FD|2

×2

5-|FE|2

=2

5-|FD|2

×

5-|FE|2

≤（5-|FD|²）+（5-|FE|²）=10-（|FD|²+|FE|²）=8，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)|FD|=|FE|=1，四邊形MPNQ的面積有最大值等于8．

點評：本題著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用、垂徑定理、四邊形的面積公式和利用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．