Question

【題目】記表示中的最大值，如,已知函數.

（1）求函數在上的值域；

（2）試探討是否存在實數, 使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；

若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據題意，明確給定范圍上的的表達式，然后求值域；（2）根據題意，明確給定范圍上的的表達式，然后恒成立問題就轉化為最值問題.

試題解析：（1）設，．．．．．．．．．．．．．1分

令，得遞增；令，得遞減，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

即，∴．．．．．．．．．．．．．4分

故函數在上的值域為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）①當時，

∵，∴，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

若，對恒成立，則對恒成立，

設，則，

令，得遞增；令，得遞減．

∴，∴，∴，∵，∴．．．．9分

②當時，由（1）知，對恒成立，

若對恒成立，則對恒成立，

即對恒成立，這顯然不可能．

即當時，不滿足對恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故存在實數，使得對恒成立，且的取值范圍為．．．．．．．12分