Question

【題目】已知函數f（x）=，其中a∈R.

（I）當a=1時，求曲線y=f（x）在原點處的切線方程；

（II）求f（x）的極值.

Answer 1

【答案】（I）2x-y=0; （II）見解析.

【解析】試題分析：（1）求出在原點處的導數值，得斜率，即可求出切線方程；

（2）求出導數，討論單調性得極值.

試題解析：

（I）解：當a=1時，f（x）=，f '（x）=-2.…………2分

由f '（0）=2，得曲線y=f（x）在原點處的切線方程是2x-y=0.………4分

（II）解：f '（x）=-2. ………6分

①當a=0時，f '（x）=.

所以f（x）在（0，+∞）單調遞增，（-∞，0）單調遞減. ………………7分

當a≠0，f '（x）=-2a.

②當a>0時，令f '（x）=0，得x1=-a，x2=,f（x）與f '（x）的情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1,x2）	x2	（x2,+∞）
f '（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

故f（x）的單調減區間是（-∞，-a）,（,+∞）；單調增區間是（-a， ）.

f（x）有極小值f（-a）=-1，有極大值f（）=a2 ………10分

③當a<0時，f（x）與f '（x）的情況如下：

x	（-∞，x2）	x2	（x2,x1）	x1	（x1,+∞）
f '（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	f（x2）	↘	f（x1）	↗

所以f（x）的單調增區間是（-∞，）；單調減區間是（-，-a），（-a,+ ∞）。

f（x）有極小值f（-a）=-1，有極大值f（）=a2 ………………12分

綜上，a>0時，f（x）在（-∞，-a），（，+∞）單調遞減；在（-a, ）單調遞增.

a=0時，f（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）單調遞減，f（x）有極小值f（-a）=-1，有極大值，f（）=a2；a<0時，f（x）在（-∞, ），（-a,+∞）單調遞增；在（，-a）單調遞減，f（x）有極小值f（-a）=-1，有極大值f（）=a2.